Explorer la mécanique géométrique

Hamilton et Lagrange ont défini deux formulations de base de la mécanique classique. Ces dernières sont élégantes et générales car elles apportent un cadre unifié dans lequel traiter des problèmes physiques apparemment différents, allant des particules classiques et des corps rigides jusqu'aux théories de champ et aux systèmes quantiques. Depuis le milieu du siècle dernier, la mécanique classique et les théories classiques des champs ont évolué de concert avec des domaines mathématiques très dynamiques comme la géométrie différentielle et la théorie des groupes de Lie.

Le but du projet GEOMECH («Geometric mechanics»), financé par l'UE, était de regrouper des scientifiques cherchant à «géométriser» les théories physiques. Il a alors appliqué les outils et le langage de la mécanique géométrique moderne pour étudier, par exemple, des systèmes mécaniques dotés de roues tournant sans glissement ou avec certains types de contact glissant. C'est le cas pour des systèmes non holonomes. Contrairement aux systèmes lagrangiens ou hamiltoniens classiques, ces systèmes plus généraux sont soumis à des contraintes sur les vitesses et exhibent souvent des comportements allant à l'encontre de l'intuition. Dans le cadre du projet GEOMECH, des mathématiciens de sept pays ont partagé leurs connaissances sur ces systèmes non holonomes, et approfondi la compréhension de leur comportement. Ils ont également étudié la discrétisation des systèmes mécaniques non holonomes, et la construction d'intégrateurs numériques pour ces systèmes.

Les scientifiques de GEOMECH ont aussi traité les effets de la symétrie sur la mécanique et la théorie des champs. Les symétries sont représentées mathématiquement par des actions de groupes de Lie. Elles peuvent servir à réduire le nombre de degrés de liberté du système sur lequel elles agissent, en regroupant des états équivalents et en exploitant les quantités conservées.

Les chercheurs de GEOMECH ont introduit le principe variationnel Hamilton-Pontryagin dans le cadre de la théorie classique des champs. Ils ont montré que les équations de champ résultantes peuvent être décrites par une extension du concept de la structure de Dirac.

Le projet a également progressé dans l'étude des systèmes mécaniques dépendant du temps qu'il a décrits comme un cas particulier de la théorie des champs, ainsi que dans l'analyse géométrique différentielle des équations différentielles du second ordre, y compris le problème inverse du calcul des variations. Ce problème consiste à étudier si un système d'équations différentielles est équivalent à un système lagrangien.

La collaboration étroite entre les partenaires de GEOMECH s'est traduite par plus de 80 articles publiés dans des revues à comité de lecture ou chargées sur arXiv. Le chercheurs ont établi des relations avec les travaux effectués par des physiciens, ce qui a conduit à de nouvelles idées soutenant la recherche en mathématiques. On espère que la collaboration aura un impact sur le futur de la mécanique géométrique en Europe.