Des algorithmes pour l'optimisation des fonctions des valeurs propres non convexes des matrices dépendantes de quelques paramètres

Pour la plupart des applications mathématiques concrètes, il est typique qu'une matrice dépende de nombreux paramètres et ses valeurs propres sont nécessaires pour la sélection des paramètres. Dans de nombreux cas, le choix des paramètres est dicté par un objectif d'optimisation.

Dans leurs travaux pour le projet OPT OF SINGULAR VALS (optimisation basée sur Lipschitz des valeurs singulières avec des applications sur des systèmes dynamiques), les scientifiques se sont concentrés sur des problèmes de modèle particuliers. Ils ont notamment étudié les problèmes de proximité de la matrice. Ces problèmes impliquent l'identification de fonctions de matrice analytiques avec un ensemble de valeurs propres prédéfinies.

Dans les applications de contrôle où la taille de la valeur propre la plus grande représente la stabilité du système, il peut être souhaitable de minimiser la valeur propre la plus grande. D'autre part, pour l'analyse de structure où la valeur propre la plus petite correspond à la charge de flambage, il est nécessaire de maximiser la valeur propre la plus petite.

Si une matrice est très proche d'une autre matrice avec des valeurs propres multiples, l'une des valeurs propres de la matrice est très sensible aux perturbations des entrées de la première matrice. De tels problèmes surviennent dans les applications de contrôle.

Les scientifiques du OPT OF SINGULAR VALS ont développé des algorithmes pour résoudre ces problèmes d'optimisation dépendant de quelques paramètres. Une solide mise en œuvre des algorithmes, baptisée EIGOPT, a été mise à disposition du public ici avec un guide.

Pendant la durée du projet, les scientifiques ont acquis une grande expérience des nouveaux algorithmes, résolvant des problèmes apparaissant dans les paramètres linéaires, polynomiaux et non-linéaires. Cela a été utilisé dans un nouveau projet commun avec la Technische Universität Berlin en Allemagne, l'École polytechnique fédérale de Lausanne en Suisse et la Koç Üniversitesi en Turquie.