L'holonomie et les feuilletages à singularité

Une variété partitionnée en variétés immergées (des feuilles) est une variété feuilletée. Le feuilletage survient lors de la résolution d'équations différentielles dans divers domaines mathématiques, comme la physique mathématique et la théorie du contrôle en rapport avec le comportement de systèmes dynamiques.

Les feuilletages «réguliers» ne présentent pas de problèmes et ont été bien étudiés, mais dans leur majorité, les feuilletages sont plutôt pathologiques. Le projet NCGSF (Noncommutative geometry for singular foliations) s'est intéressé à ces feuilletages à singularité, qui apparaissent dans les variétés comme un sous-module de champs vectoriels compactes.

Les chercheurs ont formulé la conjecture de Baum-Connes pour le feuilletage à singularité. Cette généralisation conjecturale du théorème d'Atiyah-Singer suppose que des objets purement topologiques coïncident avec des objets purement analytiques. Elle a pu être démontrée grâce à la construction du groupoïde d'holonomies pathologiques.

Ce groupoïde d'holonomie est une structure mathématique qui garde la trace des symétries des feuilletages. Il a été la clé du développement de la partie analytique de la conjecture de Baum-Connes. Les chercheurs ont introduit la notion de transformation d'holonomie, une classe d'équivalence de difféomorphismes.

Pour formuler la partie géométrique, les chercheurs ont fait appel au modèle LeGall-Tu. Mais il leur fallait d'abord définir soigneusement les conditions assurant la régularité longitudinale. Ce n'est qu'alors qu'ils ont pu formuler le modèle de la forme normale d'une variété régulièrement feuilletée autour d'une feuille compacte.

La méthodologie du projet NCGSF a été documentée dans une série de trois publications, parues dans des revues internationales à comité de lecture. Elle s'appuie sur les résultats des chercheurs, obtenus via la construction du groupoïde d'holonomie pour tout feuilletage à singularités.